关路灯

题目描述

某一村庄在一条路线上安装了$n$盏路灯,每盏灯的功率有大有小(即同一段时间内消耗的电量有多有少)。老张就住在这条路中间某一路灯旁,他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费,老张记录下了每盏路灯的位置和功率,他每次关灯时也都是尽快地去关,但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯,然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率,然后选择先关掉功率大的一边,再回过头来关掉另一边的路灯,而事实并非如此,因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为$1m/s$,每个路灯的位置(是一个整数,即距路线起点的距离,单位:$m$)、功率($W$),老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序,使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少(灯关掉后便不再消耗电了)。

输入两个数字$n(1\le n\le 50$,表示路灯的总数)和$c(1\le c\le n$老张所处位置的路灯号);

接下来$n$行,每行两个数据,表示第$1$盏到第$n$盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出最少的功耗,不必输出顺序

搜索

下面这一堆是我第一版的search函数
还美名其曰称它是记忆化搜索
然后事实证明我不但不会记忆化搜索而且就连爆搜都会出各自bug…

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#define now (pos ? l : r)

void search(int l, int r, int pos, int t, int cost){
//已经走过[l,r]区间并且当前在pos(0:l,1:r)位置,过了时间t,已知消耗电费cost
cost += W[now] * t;//循环到当前层更新
if(l < 1 || r > n) return;
if(solve[l][r][pos] <= cost) return;//*
solve[l][r][pos] = cost;//*
search(l - 1, r, 0, t + P[now] - P[l - 1], cost);
search(l, r + 1, 1, t + P[r + 1] - P[now], cost);
}

出锅的最主要原因就是这两行

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"if(solve[l][r][pos] <= cost) return;"
"solve[l][r][pos] = cost;"

查了很久错都没查出来
​ 后来突然发现t也得算一个参数
​ 不然当我们先循环到$(cost = 100, t = 100)$时
​ 就会错过$(cost = 101, t = 1)$这样很有可能是最优解的状态
​ 为了解决这个问题,我把剪枝改成了下面这样,通过对$cost$最优和$t$最优的双重判定保证了它的正确性

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void search(int l, int r, int pos, int t, int cost){ 
int now = pos ? r : l;
cost += W[now] * t;
if(l < 1 || r > n) return;
if(cost >= ans) return;
if(solve[l][r][pos] >= cost && best[l][r][pos] <= t) return;
if(solve[l][r][pos] < cost || (solve[l][r][pos] == cost && t < best[l][r][pos])) {
solve[l][r][pos] = cost, best[l][r][pos] = t;
}
if(l == 1 && r == n) {
ans = cost;
return;
}
search(l, r + 1, 1, t + P[r + 1] - P[now], cost);
search(l - 1, r, 0, t + P[now] - P[l - 1], cost);
}

int main(){
n = read(), p = read();
for(int i = 1; i <= n; ++ i) P[i] = read(), W[i] = read();
memset(solve, 127, sizeof(solve));
memset(best, 127, sizeof(best));
search(p, p, 1, 0, 0);
printf("%d", ans);
return 0;
}

但是这个剪枝并没有太大用处
仅仅是保证了正确性
该$T$的点还是会$T$掉
疯狂吸氧.jpg

最终,在题解和$xhc \ dalao$的帮助下,我找到了正确的爆搜方式

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void search(int i,int v,int sum,int k,int l, int r){
//表示当前在i点,已耗电v,正在工作的点灯总功率为sum,已经关了k盏灯,这些灯在区间[l,r]内
if(v >= ans) return;//①
if(k == n) { ans = v; return;}
if(l > 1) search(l-1, v+(t[i]-t[l-1])*sum, sum-w[l-1], k+1, l-1, r);
if(r < n) search(r+1, v+(t[r+1]-t[i])*sum, sum-w[r+1], k+1, l, r+1);
//注意对于v的状态转移
//相当于是考虑了全局的电量消耗
//v的增长就会比我之前写的那种版本更快
//从而使①处的最优性剪枝得到更加充分的利用
//然后就跑的更快啦
}

int main(){
n = read(), m = read();
for(int i = 1; i <= n; ++ i) t[i] = read(), w[i] = read(), all += w[i];//前缀和优化
search(m, 0, all - w[m], 1, m, m);//m处的灯已经关了
printf("%d", ans);
return 0;
}

DP

思路跟搜索好像差不多?

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int main(){
n = read(), c = read();
memset(f, 127, sizeof(f));
for(int i = 1; i <= n; ++ i) s[i] = read(), sum[i] = sum[i-1] + read();
f[c][c][0] = f[c][c][1] = 0;//初始化
for(int l = 2; l <= n; ++ l){
for(int i = 1; i + l - 1 <= n; ++ i){
int j = i + l - 1;//区间DP的老套路
int cost = sum[i] + sum[n] - sum[j];
f[i][j][0] = min(f[i+1][j][0] + (s[i+1] - s[i])*cost,
f[i+1][j][1] + (s[j] - s[i])*cost);
//注意:老张关完[i,j]并且位于i点的状态只能由[i+1,j]的状态转移而来
//否则让[i,j-1]的状态变成[i,j]后再经过一次[i,j]的路程让老张从j走到i是没有意义的
//只有[i-1][j][0]状态值得让老张从j点走回来
cost = sum[i-1] + sum[n] - sum[j-1];
f[i][j][1] = min(f[i][j-1][1] + (s[j] - s[j-1])*cost,
f[i][j-1][0] + (s[j] - s[i])*cost);
}
}
printf("%d", min(f[1][n][0], f[1][n][1]));
}

日常

在这道题上面卡了好久好久啊
六点半才吃饭
感谢帮我查错到很晚的$xhc$ dalao